Matematika»Geometria

Geometria

Sarrera

Planoan edo espazioan defini daitezkeen irudien ezaugarriak aztertzen dituen matematikaren zatia da geometria. Aritmetika eta geometria izan ziren matematikaren lehen bi adarrak ; batak kopuru etena aztertzen zuen, zenbakiak ; besteak, berriz, espazioa eta haren neurria, kopuru etengabeak, alegia. Baina, geometriak izan duen garapenarekin eta matematikaren beste alor batzuetako metodoak geometriara aplikatzearekin, geometriaren hasierako ideia hura lausotuz joan da, guztiz ezabatu ez bada ere. Gaur egun, zer metodo erabiltzen diren eta zer motatako ezaugarri geometrikoak aztertzen diren, hartara adjektibo bat eransten zaio geometria hitzari, eta, beraz, hitz hori gutxitan aipatzen da hutshutsik . Geometriak gaur egun dituen adar askoren artean, aipa ditzagun, besteak beste, geometria analitikoa, geometria metrikoa eta geometria proiektiboa. Geometria, bestalde, aplikatu izan da orobat zenbakien teorian, zenbaki konplexuen problemak ebazterakoan eta algebran ; eta, beraz, ez da erraza geometria matematikaren beste alorretatik bereiztea, baldin eta bistatik galtzen bada bere hasierako helburua, irudiak planoan eta espazioan aztertzea, alegia.Geometriaren lehenengo banaketa baliatzen diren metodoen arabera egiten da. Baldin eta emaitza bat lortzeko hatsapen edo axioma batzuk hartzen badira abiapuntutzat, eta mailaz maila frogatzen badira teoremak edo geroztikako emaitzak, orduan geometria sintetikoa dela esaten da. Euklidesen geometria klasikoa, esate baterako, hura baita funtsezko geometriaren oinarria, geometria sintetikoaren adibide da. Geometria horrek ez ditu laguntzaile gisa algebra edo aritmetika erabiltzen. Aztertutako irudiaren ezaugarriak aztertzen badira emaitza ezagun batera iritsi arte, orduan geometria analitikoa dela esaten da. Viete, Descartes eta Fermatek hasi zuten bideari jarraituz, problemak ebazteko koordenatuak eta algebra aplikatzea hain bide eragin handikoa gertatu da, non orain geometria analitikoa esanez gero, koordenatuak eta ekuazioak dituen geometria dela ulertzen baita.

Metodo horri esker, elkarrekin erlazionatu ahal izan dira geometria, algebra eta analisia, eta, beraz, gauza normala da geometriako problemak algebrako problemen gisa planteatzea, baita oinarrizko problemetan ere.Geometria orobat bana daiteke aztergaiaren edukiaren arabera.

Aipa ditzagun lehenik geometria laua edo bi dimentsiotakoa eta espazioaren geometria edo hiru dimentsiotakoa. Oinarrizko geometrian transformazioak, distantziak eta angeluak mantentzen dituztenak, isometriak alegia, eta antzekotasunak, angeluak eta proportzioak mantentzen dituztenak bereizi ohi dira. Bi kasu horietan, espazio metriko batean egindako aldaketak dira. Beren ezaugarrien arabera, espazio horiek izan daitezke euklidearrak edo ez-euklidearrak. Espazio euklidearrak zuzen paralelo bakarra dutenak dira, eta ez-euklidearrak zuzen paralelo bat baino gehiago dutenak edo batere zuzen paralelorik ez dutenak. Beste kasu batzuetan, ezaugarri metrikoek ez dute garrantzirik, aitzitik, paralelismo edo intzidentzia ezaugarriek dute garrantzia, eta kideko geometria deritzana da alor hori lantzen duena. Geometria proiektiboak puntuen eta zuzenen arteko intzidentzia, puntu batzuen lerrokatzea eta zuzenen arteko ebakidurak aztertzen ditu ; geometria alor horrek zerikusia izan dezake pinturan edo marrazkian irudiak irudikatzearekin.Bada geometria aztertzeko beste era bat, balio aldaketarik ez duten irudiek edo ezaugarriek zer aldaketa mantentzen dituzten aztertzea, alegia. Geometria lantzeko era hori oso baliagarria izan da alor askotan, eta badu zerikusia algebrarekin. Beste kasu batzuetan, puntuen arteko hurbiltasuna edo irudien arteko lotura aztertu nahi izaten da ; geometriaren atal horri geometria topologikoa esaten zaio.Beste geometria mota gehiago ere aipa daitezke ; batzuek metodo zehatzagoak behar izaten dituzte, geometria diferentzialak adibidez, beste batzuek eremu mugatuagoa dute, geometria deskriptiboak edo marrazkira aplikatutako geometriak, esate baterako. Liburu honetan ezin dira existitzen diren geometria guztiak zehatz aztertu,beraz ikasgaia mugatu egingo dugu. Lehenengo kapituluetan oinarrizko geometria landuko da, metodo sintetikoen bidez baina garapen axiomatiko baten ordena formalik gabe ; geometria analitikoa aztertuko da gero, eta, azkeneko kapituluan, geometria aldaketak landuko dira.

Historia

Zibilizazio zaharrenetan ere ezagunak ziren geometriaren hastapenak.

Antzinako Egipton, Nilo ibaiak gainezka egiten zuenean, soroetako mugak ezabatu egiten ziren eta urtero ezarri behar izaten ziren berriro. Lan horietarako, geometriako problema batzuk ebatzita zituzten papiroak aurkitu dira. Babilonian bazuten geometriaren berri, eta astronomiarako eta eraikuntzarako erabiltzen zuten. Badira K.a. 1800 urteko buztin xafla batzuk Pitagorasen teorema betetzen duten zenbakiak kuneiforme idazkeraz idatzita dituztenak. Txinako antzinako dokumentuetan ere aurkitu izan dira geometriako problemen ebazpen praktikoak.Geometria Grezian hasi zen teoria landu gisa ; Talesek eta Pitagorasek landu zutela lehendabizi. Lehenengo arazo nagusia zuzenki neurgaitzen neurria izan zen, Eudoxioren proportzioei esker ebatzia izan zena. Euklidesek Elementuak idazlanean idatzi zuen geometriako jakintzaren lehen bilduma ordenatua K.a. IV mendean. Mende askotan Euklidesen liburuetan esaten zenaren garapena baizik ez zen izan geometria. Antzinako Grezian idatzi zen geometriazko beste liburu garrantzitsurik ere : Apolonioren Konikoak (K.a. 111. mendean) eta Arkimedesen liburuak, besteak beste.

Geometriaren geroztikako garapenak greziarren geometria izan zuen eredu mende askotan.Berpizkundean, Vieteren lana gidari harturik, eta batez ere XVII. mendean, Descartesen eta Fermaten ekarriei esker, algebraren metodoak aplikatu ziren geometrian eta aplikazio hori oso emankorra izan zen. Rene Descartesek bere Metodoaren diskurtsua lanaren eranskin gisa argitaratu zuen Geometria izan zen eragin handieneko lana. Geometria analitikoa, edo koordenatuduna, geroz eta gehiago zabalduz joan zen, eta hari esker geometriako problema asko ebatzi ziren XVII. eta XVIII. mendeetan, batez ere azaleraren, ukitzaileen, gehienekoen eta gutxienekoen alorrean, geometria analitikoa eta kalkulo diferentziala konbinaturik. Baina eredu nagusia Euklidesen geometria zen, hala ere. XIX. mendearen hasieran, hura izan haitzen zinez geometriaren mendea esan daitekeena, geometriaren garapena aldatu zuten bi alor berri zabaldu ziren. Batetik, Poncelet eta beste batzuk hasiak ziren geometria proiektiboa aztertzen, irudi bat plano batean proiektatzean sortzen diren konstanteak eta aldakuntzak aztertzen dituena, alegia. Geometria horrek ez ditu ez distantziak eta ez angeluak gordetzen ; Desargues-ek XVII. menderako proposatua zuen. Bestalde, Bolyai-en eta Lobachewsky-ren lanek paraleloen postulatuari buruzko eztabaida erabaki zuten ; postulatu hori Euklidesen Elementuak liburuko bosgarrena zen eta zalantza zen ea postulatu hori froga zitekeen ala ez ; Bolyaik eta Lobachewskyk landu zuten geometriaren bidez, puntu batean zuzen baten paralelo infinitoak egin zitezkeen inongo kontraesanik sortu gabe.XVIII. mendean geometria analitikoa izan zen nagusi ; XIX. mendean, berriz, Poncelet frantsesak eta Steiner alemanak geometria sintetikora itzultzea proposatu zuten, bai lortu ere. Pliicker-en zuzenaren eta puntuaren dualtasunak eta koordenatu homogeneoek, Cayley-ren n-dimentsiotako geometriak eta beste eratze orijinal batzuek geometriaren alorra zabaldu eta uniformizatu zuten. Riemann-ek aldaera diferentzialei eta gainalde baten berezko geometriari buruz egin zituen azterketekin bukatu ziren geometria ez-euklidearren kontra zeuden aurriritziak, erakutsi baitzuen geometria ez-euklidearra, Sachieriren angelu kamutsaren hipotesian, ez zela esferaren berezko geometria baizik. Handik gutxira Beltrami-k Bolyai eta Lobachewskyren geometria ez-euklidearraren bi dimentsiotako beste baliokide bat aurkitu zuen traktriza biratzean lortzen den sasi-esferan edokurban. Gainalde horretan, zuzentzat geodesikoak, edo hi puntu elkartzen dituzten lerro luzeraz txikienak, hartzen baziren, Lobachewskyren geometria lortzen zen. Laburtuz, ondorio hauek atera zituzten : baldin eta ohiko espazioan definitutako gainalde baten kurbadura zero bada, planoarena adibidez, Euklidesen geometriari dagokio ; baldin eta gainalde horren kurbadura konstantea eta positiboa bada, esferarena adibidez, Riemannen geometriari dagokio ; eta baldin eta kurbadura konstantea eta negatiboa bada, Belrramiren sasi-esferarena adibidez, Lobachewskyren edo Bolyairen geometriaren arauak betetzen ditu.Geometriak bilakaera handiak eta aldaketa asko izan zituen XIX. mendean . Klein saiatu zen geometria desberdinen ugaritasun hori geometriak baliorik gabe uzten dituzten aldaketen arabera ordenatzen, isometriek geometria euklidearrera ekarri zituzten aldaketak direla, besteak beste, aipagarri . Hori egiteko programa bat proposatu zuen, Erlanger Programm, azterketa horiek bideratzeko erabili zutena.XIX. mendearen bukaeran uste izan zuten geometriak garapen axiomatiko berri bat behar zuela berrikuntza guztiak bil zitzan. Peano-k aritmetikan eta beste egile batzuek matematikako beste alor batzuetan egin zituzten lanei esker, planteamendu axiomatikoak nagusitu egin ziren.

Geometria falta zen ordea, nahiz hura izan zen axioma batzuk abiapuntutzat harturik jakite guztiak logikaz lantzen saiatzen zen lehenengo liburua ondu zuen matematikako alorra. 1899an Hilbert-ek Geometriaren oinarriak argitaratu zuen, oinarri axiomatiko berri hura geometriari ematen zion liburua. Euklidesek inplizitotzat jo zituen eta gerora geometria zabaltzeko eta orokortzeko balio zezatela nahi zuen axioma batzuk bildu zituen Hilbertek liburu horretan. Hiru objektu mota onartu zituen emantzat edo ezaguntzat: puntuak, zuzenak eta planoak ; eta sei erlazio onartu zituen orobat: gainean egon, nonbait egon, bitartean egon, kongruentea izan, paraleloa izan eta jarraia izan. Oinarrizko elementu eta erlazio horiei 21 axioma gehitu zizkien : horietako zortzi intzidentziari dagozkio ; lau, ordenaren ezaugarriei ; bost, kongruentziaren ezaugarriei ; hiru, jarraitasunari ; eta azkena paraleloen axioma edo Euklidesen bosgarren postulatua da.

Azken postulatu hori aldatuz geometria ez-euklidearrak lortzen ziren.

Axiomatizazio horrekin geometriak ez zuen ez intuiziozko noziorik ez esperientziatik ezaugarririk ateratzerik behar. Geometrian puntuak, zuzenak eta planoak objektu abstraktoak dira eta ez dira objektu fisikoen abstrakziotzar hartu behar.Joera axiomatiko hori izan da XX. mendeko geometrian nagusi, nahiz beti izan duen aurrez aurre beste jarrera bat, intuizioaren aldekoagoa, XX. mendearen hasieran Poincare-k eta geroago Herman Weyl-ek aldeztu zutena.